如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数y=kx（x>0）的图象与边AB交于点E（4，n），AB=2．（1）若点D为对角线OB的中

Question

如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x，y轴的正半轴上，点F是边BC上的一个动点（不与点B，C重合），过点F的反比例函数y=(k)/(x)（x>0）的图象与边AB交于点E（4，n），AB=2．
（1）若点D为对角线OB的中点，反比例函数在第一象限内的图象又经过点D．
①求反比例函数的解析式和n的值；
②将矩形OABC折叠，使点O与点F重合，折痕分别与x，y轴正半轴交于点H，G，求线段OG的长．
（2）连接EF，OE，当点F运动到什么位置时，四边形OCFE的面积最大，其最大值为多少？

Answer 1

（1）①∵D为OB中点，B（4，2），
∴D（2，1），
把D（2，1）代入y=(k)/(x)中，得1=(k)/(2)，即k=2，
∴反比例函数解析式为y=(2)/(x)，
把E（4，n）代入反比例解析式得：n=(2)/(4)=(1)/(2)；
②由F（1，2），得到CF=1，
由折叠得：△OGH≌△FGH，
∴OG=FG，
∵OC=AB=2，
设OG=FG=x，得到CG=2-x，
在Rt△CFG中，由勾股定理得：FG²=CG²+CF²，即x²=（2-x）²+1，
整理得：4x=5，
解得：x=(5)/(4)，
则OG=(5)/(4)；

（2）∵设F（x，2），则E（4，(1)/(2)x），
∴S_{四边形OCFE}=8-(1)/(2)（2-(1)/(2)x）（4-x）-(1)/(2)×2x
=-(1)/(4)x2+x+4
=-(1)/(4)（x-2）²+5．
∴F（2，2）时，四边形OCFE的面积最大，最大值为5．