设有一样本x1，x2，…，xn，其标准差为sx，另有一样本y1，y2，…，yn，其中yi=3xi+2（i=1，2，…，n），其标准差为sy，求证：sy=3sx．

Question

设有一样本x₁，x₂，…，x_n，其标准差为s_x，另有一样本y₁，y₂，…，y_n，其中y_i=3x_i+2（i=1，2，…，n），其标准差为s_y，求证：s_y=3s_x．

Answer 1

证明：∵

.

x

=(x1+x2+…+xn)/(n)，
∴

.

y

=(y1+y2+…+yn)/(n)
=((3x1+2)+(3x2+2)+…+(3x2+2))/(n)
(3(x1+x2+…+xn)+2n)/(n)
=3

.

x

+2．
∴s_y²=(1)/(n)[（y₁²+y₂²+…+y_n²）-n

.

y

²]
=(1)/(n)[（3x₁+2）²+（3x₂+2）²+…+（3x_n+2）²-n（3

.

x

+2）²]
=(1)/(n)[9（x₁²+x₂²+…+x_n²）+12（x₁+x₂+…+x_n）+4n-n（9

.

x

²+12

.

x

+4）]
=(9)/(n)[（x₁²+x₂²+…+x_n²）-n

.

x

²]
=9s_x²．
∵s_x≥0，s_y≥0，
∴s_y=3s_x．