三角形的三条边a,b,c,且1/a,1/b,1/c构成等差,求角B的范围（应该是基本不等式的知识应用……）

Question

三角形的三条边a,b,c,且1/a,1/b,1/c构成等差,求角B的范围（应该是基本不等式的知识应用……）

Answer 1

因为1/a,1/b,1/c构成等差
所以1/a+1/c=2/b即
（bca^2+acb^2-2acb^2)/abc=0.(1)
(a+c)/ac=2/b.(2)
由（1）得abc(a+c-2b)=0
即a+c=2b
由（2）得ac=b^2
在三角形ABC中,根据余弦定理得cosB=(a^2+c^2-b^2)/2ac
又a+c=2b,ac=b^2所以cosB=((a+c)^2-2ac-b^2)/2ac=(4b^2-b^2-2b^2)/2b^2=1/2
所以B=60度