基本不等式kuai!a+b+c=1证明:1/a+1/b+1/c≤9

Question

基本不等式 kuai!
a+b+c=1 证明:1/a+1/b+1/c≤9

Answer 1

解法1
1/a+1/b+1/c = (a+b+c)/a+(a+b+c)/b+(a+b+c)/c
= 3+b/a+a/b+c/a+a/c+b/c+c/b≥9
解法2
平均不等式:
(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)
1/3>=(abc)^(1/3)
再用平均不等式:
(1/a+1/b+1/c)/3>=(1/(abc))^(1/3)
所以,
1/a+1/b+1/c>=3(abc)^(-1/3)>=9
解法3
(a+b)/2≥2/(1/a+1/b) (算术平均数大于等于调和平均数）
a＞0,b＞0,a+b=1所以1/a+1/b≥4
(a+b+c)/3≥3/(1/a+1/b+1/c)
a＞0,b＞0,c＞0,a+b+c=1,
所以(1/a+1/b+1/c)≥9
题目错了 是≥9 不然不能解