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真的,真的,跪求了已知m>0,n>0,求证:m/√n+n/√m≥√m+√n,我要更简单的方法,什么作差法,做商法我都不要,巧妙地,厉害的也行,别用高三的知识,或用用基本不等式什么的,真的,我只要更好的方
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真的,真的,跪求了已知m>0,n>0,求证:m/√n+n/√m≥√m+√n,
我要更简单的方法,什么作差法,做商法我都不要,巧妙地,厉害的也行,别用高三的知识,或用用基本不等式什么的,真的,我只要更好的方法 ,如果有的话,我追加100分 ,
我要更简单的方法,什么作差法,做商法我都不要,巧妙地,厉害的也行,别用高三的知识,或用用基本不等式什么的,真的,我只要更好的方法 ,如果有的话,我追加100分 ,
▼优质解答
答案和解析
百度书写太麻烦,为了方便起见,用代换法解.如果你不想用的话,直接写也可以的.
令√m=a,√n=b,则a>0,b>0
m/√n+n/√m
=a²/b+b²/a
=(a³+b³)/(ab)
=(a+b)(a²-ab+b²)/(ab)
=(a+b)[(a+b)²-3ab]/(ab)
=(a+b)³/(ab) -3(a+b)
由均值不等式得,(a+b)²≥4ab
(a+b)³/(ab) -3(a+b)≥(a+b)(4ab)/(ab)-3(a+b)
=4(a+b)-3(a+b)
=a+b=√m+√n
m/√n+n/√m≥√m+√n
这是用均值不等式的方法解.不过说起来,还是作差法、作商法更简单些.
令√m=a,√n=b,则a>0,b>0
m/√n+n/√m
=a²/b+b²/a
=(a³+b³)/(ab)
=(a+b)(a²-ab+b²)/(ab)
=(a+b)[(a+b)²-3ab]/(ab)
=(a+b)³/(ab) -3(a+b)
由均值不等式得,(a+b)²≥4ab
(a+b)³/(ab) -3(a+b)≥(a+b)(4ab)/(ab)-3(a+b)
=4(a+b)-3(a+b)
=a+b=√m+√n
m/√n+n/√m≥√m+√n
这是用均值不等式的方法解.不过说起来,还是作差法、作商法更简单些.
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