设齐次线性方程组ax1+bx2+bx3+…+bxn＝0bx1+ax2+bx3+…+bxn＝0…bx1+bx2+bx3+…+axn＝0，其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解？在有无穷多组解时，求出全部解，并

Question

设齐次线性方程组

ax1+bx2+bx3+…+bxn＝0

bx1+ax2+bx3+…+bxn＝0

…

bx1+bx2+bx3+…+axn＝0

，其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解，有无穷多解？在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．

Answer 1

方程组的系数行列式为：
|A|=

.

a	b	b	…	b
b	a	b	…	b
b	b	a	…	b
…	…	…	…	…
b	b	b	…	a

.

=[a+（n-1）b]（a-b）^n-1，
（1）当|A|≠0时，即：当a≠b且a≠（1-n）b时，方程组仅有零解；
（2）当|A|=0时，即：当 a=b 或者 a=（1-n）b时，方程组有无穷多解．
下面分类讨论来求
①当a=b时，
对系数矩阵A做初等行变换，可得：
A=

a	a	a	…	a
a	a	a	…	a
…	…	…	…	…
a	a	a	…	a

→

1	1	1	…	1
0	0	0	…	0
…	…	…	…	…
0	0	0	…	0

，
故原方程组的同解方程组为：
x_1<