高等代数问题（bigbai0210）设A为n阶实方阵（n≥3）,若|A|≠0,则存在正交阵P与正定阵B使得A=PB

Question

高等代数问题（bigbai0210）
设A为n阶实方阵（n≥3）,若|A|≠0,则存在正交阵P与正定阵B使得A=PB

Answer 1

A非奇异,则A^TA是正定阵.设A^TA=UDU^T,其中U是正交阵,D是对角阵,对角元di全大于0.
令B=UCU^T,其中C是对角元ci大于0的对角阵,且ci^2=di.于是B正定,且B^2=UC^2U^T=UDU^T=A^TA.
故(AB^(-1))^T*(AB^(-1))=B^(-1)A^TAB^(-1)=UC^(-1)UT*(UDU^T)*UC^(-1)U^T=UC^(-1)DC^(-1)U^T=E.
即AB^(-1)=P是正交阵,故A=PB,P正交阵,B正定阵.