设A为n阶实对称矩阵，秩（A）=n，Aij是A=（aij）n×ij中元素aij的代数余子式（i，j=1，2，…，n），二次型f（x1，x2，…，xn）=ni＝1nj＝1AijAxixj．（1）记A=（x1，x2，…，xn），把f（x1，x2，…，xn

Question

设A为n阶实对称矩阵，秩（A）=n，A_ij是A=（a_ij）_n×ij中元素a_ij的代数余子式（i，j=1，2，…，n），二次型
f（x₁，x₂，…，x_n）=

n

i＝1

n

j＝1

(Aij)/(A)x_ix_j．
（1）记A=（x₁，x₂，…，x_n），把f（x₁，x₂，…，x_n）=

n

i＝1

n

j＝1

(Aij)/(A)x_ix_j写成矩阵形式，并证明二次型f（X）的矩阵为A^-1；
（2）二次型g（X）=X^TAX与f（X）的规范形是否相同？说明理由．

Answer 1

（1）
二次型f（x₁，x₂，…，x_n）的矩阵形式为：
f（x）=（x₁，x₂，..，x_n）(1)/(.A.)

A11	A21	…	An1
A12	A22	…	An2
⋮	⋮		⋮
A1N	A2N	…	Ann

x1

x2

⋮

xn

，
因秩（A）=n，所以A可逆，
并且A−1＝(1)/(.A作业帮用户2017-10-30问题解析（1）解这一问时要读懂题意，认真写出二次型的矩阵形式即可．（2）二次型的规范性要相同，则是他们要合同，因此可以进行证明．名师点评本题考点：实对称矩阵的特征值和特征向量的性质；线性方程组的矩阵形式和向量形式；二次型的规范形．考点点评：本题主要考查实对称矩阵的特征值和特征向量，同时也考查了二次型的矩阵形式和规范型．再遇到类似要证明有相同规范型的题目，他们一定是合同的，属于简单题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)