已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=2x+a（a，b∈R），且函数f（x）与g（x）的图象至多有一个公共点．（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+b）2；（Ⅱ）若不等式f（a）-f（b）≥L（a2-b2）对题设条件

Question

已知函数f（x）=x²+ax+b，g（x）=2x+a（a，b∈R），且函数f（x）与g（x）的图象至多有一个公共点．
（Ⅰ）证明：当x≥0时，f（x）≤（x+b）²；
（Ⅱ）若不等式f（a）-f（b）≥L（a²-b²）对题设条件中的a，b总成立，求L的最小值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：由题意得f（x）-g（x）=x²+ax+b-2x-a
=x²+（a-2）x+b-a≥0恒成立，
∴△=（a-2）²-4（b-a）=a²+4-4b≤0，
∴a²≤4b-4，∴0≤4b-4，即有b≥1，
又f（x）-（x+b）²=（a-2b）x+b（1-b）
又a²≤4b-4≤b²，∴a≤|a|≤b≤2b，
∴k=a-2b≤0，
f（0）-b²=b（1-b）≤0，
∴当x≥0时，f（x）≤（x+b）²；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）得，b≥|a|，
当b>|a|时，L≥(f(a)-f(b))/(a2-b2)=(2a2-b2-ab)/(a2-b2)=(2a+b)/(a+b)，
令t=(a)/(b)，则-1<t<1，(2a+b)/(a+b)=2-(1)/(1+t)，
而函数g（t）=2-(1)/(1+t)（-1<t<1）的值域是（-∞，(3)/(2)），
因此，当b>|a|时，L的取值集合为[(3)/(2)，+∞），
当b=|a|时，由（I）知，a=±2，b=2，
此时f（b）-f（a）=-8或0，b²-a²=0，
从而f（b）-f（a）≤L（b²-a²）恒成立．
综上所述，L的最小值为(3)/(2)．