N次方程为什么一定可以分解成N个一次多项式的乘积如a*b=0的形式小处不可随便

Question

N次方程为什么一定可以分解成N个一次多项式的乘积如a*b=0的形式
小处不可随便

Answer 1

这个是代数基本定理,高斯最早给的证明 我只记得一个在抽象代数书上的证明
证明比较长 思路大概是
1 实系数奇数次方程有实根 (这只要用数学分析中连续函数的介值定理)
2 复系数2次方程有2复根 (配方法就行)
3 实系数方程有复根
证 (粗略的) 次数设为 2^MQ Q为奇数 对M归纳
M=0时 由1 得证
若M>=K时成立
对M=K+1时
G(X)=X^N+A(N-1)X^(N-1).+A0 (N=2^MQ)
为实域R上多项式
则 在某一拓域F上有N个根(用到域的拓张的知识 如果不懂 可以想象 取X1为
一个字 定义他满足上述方程 讲其加到 R上 得R上拓域记为R(X1) 当然这一点是要证明的 不过涉及知识比较多 理解一下就好 然后 原多项式可分解为 (X-X1)G1(X) 接着继续取G1(X)=0的根X2 得R(X1,X2) 一直做下去 可得 在某1拓域上 G(X)=0有N个根 X1,X2.XN)
设为 X1,X2,.XN 则G(X)=(X-X1).(X-XN)
对实数C 有 作X-(XI+XJ+CXIXJ) 对每个N>=I>J>=0
将他们全部相乘 得H(X) 则H(X) 为 N(N+1)/2=2^(M-1)Q(N+1)次注意到 Q(N+1)为奇数
再看H(X) 易知 H(X)中每项系数都为 X1,X2.XN在R上的对称多项式 由
对称多项式基本定理 知 每项系数 都能写成
U1,U2.UN的多项式 其中
U1=X1+X2+...XN
U2=X1X2+X1X3+...X1XN+X2X3...X2XN...+XN-1XN
U3=X1X2X3+X1X2X4...XN-2XN-1XN
.
UN=X1X2...XN
由韦达定理(或者说由(X-X1)(X-X2)...(X-XN)=G(X)展开对比系数)知
U1=-A(N-1)
U2=A(N-2)
.
UN=(-1)^N *A
所以
U1...UN为实数
所以H(X)为实系数多项式 所以由归纳假设知 H(X)=0有复根
所以存在某个 I,J有
XI+XJ+CXIXJ为复数 (注意到 I J 是与C有关的 所以记为I(C) J(C))
因为 (I,J)的数对只有有限多个 但C属于R有无穷多 所以 存在 C1不=C2有
(I(C1),J(C1))=(I(C2),J(C2))记为I J
则 XI+XJ+C1XIXJ=A属于C
XI+XJ+C2XIXJ=B属于C
则 容易解得 XI+XJ=(C2A-C1B)/(C2-C1)属于C
XIXJ=(A-B)/(C1-C2)属于C
则 XI XJ 为 复系数2次方程
X^2- (C2A-C1B)/(C2-C1)X+(A-B)/(C1-C2)=0 的2根
由2知 XI XJ为复数 所以F(X)=0有复根
4 复系数方程有复根
证 设F(X)为复系数多项式 F1(X)为他的共轭 则 G(X)=F(X)F1(X)为实系数多项式 所以 G(X)=0有复根X 则为F(X)=0或F1(X)=0的根 所以
X或X的共轭为F(X)=0的复根
5复系数N次方程有N个复根(计入重根)
(这是明显的 因为由5 知 N次复系数方程F1(X)=0有复根 设为X1则F可分解 有
F1(X)=(X-X1)F2(X) 其中F2为复系数N-1次多项式 所以有复根 X2 则
F1(X)=(X-X1)(X-X2)F3(X) 一直下去得 F(X)=(X-X1)(X-X2).(X-XN)
所以有N个复根