设二项展开式Cn=（3+1）2n-1（n∈N*）的整数部分为An，小数部分为Bn．（1）计算C1B1，C2B2的值；（2）求CnBn．

Question

设二项展开式C _n =（

3

+1） ^2n-1 （n∈N ^* ）的整数部分为A _n ，小数部分为B _n ．
（1）计算C ₁ B ₁ ，C ₂ B ₂ 的值；
（2）求C _n B _n ．

Answer 1

（1）因为 C n = (

3

+1) 2n-1 ，
所以 C 1 =

3

+1 ，A ₁ =2， B 1 =

3

-1 ，所以C ₁ B ₁ =2；
又 C 2 = (

3

+ 1) 3 =10+6

3

，其整数部分A ₂ =20，小数部分 B 2 =6

3

-10 ，
所以C ₂ B ₂ =8．
（2）因为 C n = (

3

+1) 2n-1 =

C

02n-1

(

3

) 2n-1 +

C

12n-1

(

3

) 2n-2 +…+

C

2n-22n-1

3

+

C

2n-12n-1

①
而 (

3

-1) 2n-1 =

C

02n-1

(

3

) 2n-1

C

12n-1

(

3

) 2n-2 +…+

C

2n-22n-1

3

+

-C

2n-12n-1

②
①-②得：
(

3

+1) 2n-1  - (

3

-1) 2n-1 =2（

C

12n-1

(

3

) 2n-2 +

C

32n-1

(

3

) 2n-4 +…+

C

2n-12n-1

）
而 0＜ (

3

-1) 2n-1 ＜1 ，所以 A n = (

3

+1) 2N-1 - (

3

-1) 2n-1 ， B n = (

3

-1) 2N-1
所以 C n B n = (

3

+1) 2n-1 (

3

-1) 2n-1 = 2 2n-1 ．