已知(x+2x)n的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，则该展开式中x2的系数．

Question

已知(√(x)+(2)/(x))n的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，则该展开式中x²的系数______．

Answer 1

根据题意，(√(x)+(2)/(x))n的展开式为T_r+1=C_n^r（√(x)）^n-r（(2)/(x)）^r=C_n^r（2）^rx(n−3r)/(2)，
又有其展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，可得(C4n×24)/(C2n×22)＝(56)/(3)，
即（n-2）（n-3）=56，
解可得，n=10，
则Tk+1＝

C

k 10

x(1)/(2)(10−k)−k×2k，
由(1)/(2)(10−k)−k＝2得k=2，
从而C₁₀²×2²=180；
故答案为：180．