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已知fn(x)=(1+2)n,n∈N*.(1)若g(x)=f4(x)+f5(x)+f6(x),求g(x)中含x2项的系数;(2)若pn是fn(x)展开式中所有无理项的二项式系数和,数列{an}是各项都大于1的数组成的数列
题目详情
已知fn(x)=(1+2)n,n∈N*.
(1)若g(x)=f4(x)+f5(x)+f6(x),求g(x)中含x2项的系数;
(2)若pn是fn(x)展开式中所有无理项的二项式系数和,数列{an}是各项都大于1的数组成的数列,试用数学归纳法证明:.
(1)若g(x)=f4(x)+f5(x)+f6(x),求g(x)中含x2项的系数;
(2)若pn是fn(x)展开式中所有无理项的二项式系数和,数列{an}是各项都大于1的数组成的数列,试用数学归纳法证明:.
▼优质解答
答案和解析
(1)g(x)=f4(x)+f5(x)+f6(x)=(1+2)4+(1+2)5+(1+2)6,
∴g(x)中含x2项的系数为 16+5×16+15×16=336.(3分)
(2)证明:由题意,pn=2n-1.(5分)
①当n=1时,p1(a1+1)=a1+1,成立;
②假设当n=k时,pk(a1a2…ak+1)≥(1+a1)(1+a2)…(1+ak)成立,
当n=k+1时,(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k-1(a1a2…ak+1)(1+ak+1)
=2k-1(a1a2…akak+1+a1a2…ak+ak+1+1).(*)
∵ak>1,a1a2…ak(ak+1-1)≥ak+1-1,即a1a2…akak+1+1≥a1a2…ak+ak+1,
代入(*)式得(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k(a1a2…akak+1+1)成立.
综合①②可知,pn(a1a2…an+1)≥(1+a1)(1+a2)…(1+an)对任意n∈N*成立,
即对任意n∈N*成立.(10分)
∴g(x)中含x2项的系数为 16+5×16+15×16=336.(3分)
(2)证明:由题意,pn=2n-1.(5分)
①当n=1时,p1(a1+1)=a1+1,成立;
②假设当n=k时,pk(a1a2…ak+1)≥(1+a1)(1+a2)…(1+ak)成立,
当n=k+1时,(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k-1(a1a2…ak+1)(1+ak+1)
=2k-1(a1a2…akak+1+a1a2…ak+ak+1+1).(*)
∵ak>1,a1a2…ak(ak+1-1)≥ak+1-1,即a1a2…akak+1+1≥a1a2…ak+ak+1,
代入(*)式得(1+a1)(1+a2)…(1+ak)(1+ak+1)≤2k(a1a2…akak+1+1)成立.
综合①②可知,pn(a1a2…an+1)≥(1+a1)(1+a2)…(1+an)对任意n∈N*成立,
即对任意n∈N*成立.(10分)
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