已知（1+mx）n（m∈R，n∈N*）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x3项的系数为80．（1）求m，n的值；（2）求（1+mx）n（1-x）6展开式中含x2项的系数．

Question

已知（1+mx）ⁿ（m∈R，n∈N^*）的展开式的二项式系数之和为32，且展开式中含x³项的系数为80．
（1）求m，n的值；
（2）求（1+mx）ⁿ（1-x）⁶展开式中含x²项的系数．

Answer 1

（1）由题意，2ⁿ=32，则n=5．
由通项Tr+1＝

C

r 5

mrxr(r＝0，1，…，5)，
令r=3，可得展开式中含x³项的系数为

C

3 5

m3＝80，所以m=2．
（2）即求（1+2x）⁵（1-x）⁶展开式中含x²项的系数，
(1+2x)5(1−x)6＝[

C

0 5

+

C

1 5

(2x)1+

C

2 5

(2x)2+…](

C

0 6

−

C

1 6

x+

C

2 6

x2+…)
=（1+10x+40x²+…）（1-6x+15x²+…），
所以展开式中含x²项的系数为1×15+10×（-6）+40×1=-5．