已知(x23+3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．（1）求展开式中二项式系数最大的项；（2）求Sn=C1n+C2n•2+C3n•22+…+Cnn•2n-1值．

Question

已知(x(2)/(3)+3x2)n的展开式中，各项系数和比它的二项式系数和大992．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求Sn=

C

1 n

+

C

2 n

•2+

C

3 n

•22+…+

C

n n

•2n-1值．

Answer 1

（1）由题意可得（1+3）ⁿ-2ⁿ=992，即（2ⁿ-32）（2ⁿ+31）=0，
解得2ⁿ=32 或2ⁿ=-31 （舍去），求得n=5，
故展开式中二项式系数最大的项为第三项或第四项，
第三项为T₃=

C

2 5

•9x⁶，第四项为T₄=

C

3 5

•27x(22)/(3)．
（2）Sn=

C

1 n

+

C

2 n

•2+

C

3 n

•22+…+

C

n n

•2n-1=(-C0n+[C0n+C1n•2+C2n•22+…+Cnn•2n])/(2)
=(-1+(1+2)n)/(2)=(3n-1)/(2)．