已知数列an的通项an是二项式(1+x)^n与(1+x)^2n的展开式中有x的次数相同的各项系数之和,求an及前n项和S.

Question

已知数列an的通项an是二项式(1+x)^n与(1+x)^2n的展开式中有x的次数相同的各项系数之和,求an及前n项和S.

Answer 1

二项式(1+x)^n中x次数从0到n
(1+x)^2n中x系数从0到2n
所以他们x的次数相同的项就是0到n项
对(1+x)^n来说就是全部,对(1+x)^2n来说是前一半
(1+x)^n的各项系数之和就是当x=1时他的值,为(1+1)^n=2^n
(1+x)^2n的前一半系数之和就是它的各项系数之和的一半,
为1/2*(1+1)^2n=2^(2n-1)
所以an=2^n+2^(2n-1)
Sn=2*(1-2^n)/(1-2)+2*(1-2^2n)/(1-4)=2*(2^n-1)+2/3 * (2^2n-1)