数列{an}满足an＞0，Sn=m2（an+1an），其中m=∫π602cosxdx．（1）求S1，S2，S3，猜想Sn；（2）请用数学归纳法证明之．

Question

数列{a_n}满足a_n＞0，S_n=(m)/(2)（a_n+(1)/(an)），其中m=

∫

(π)/(6) 0

2cosxdx．
（1）求S₁，S₂，S₃，猜想S_n；
（2）请用数学归纳法证明之．

Answer 1

（1）易得：m=1．∵a_n＞0，∴S_n＞0，
由S₁=(1)/(2)（a₁+(1)/(a1)），变形整理得S₁²=1，取正根得S₁=1．
由S₂=(1)/(2)（a₂+(1)/(a2)），及a₂=S₂-S₁=S₁-1得S₂=(1)/(2)（S₂-1+(1)/(S2−1)），
变形整理得S₂²=2，取正根得S₂=√(2)，
同理可求得S₃=√(3)．由此猜想S_n=√(n)．…（5分）
（2）用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，上面已求出S₁=1，结论成立．…（7分）
②假设当n=k时，结论成立，即S_k=√(k)．
则n=k+1时，S_k+1=(1)/(2)（a_k+1+(1)/(ak+1)）=(1)/(2)（S_k+1-S_k+(1)/(Sk+1−Sk)）=(1)/(2)（S_k+1-√(k)+(1)/(Sk+1−√(k))）．
整理得S_k+1²=k+1，取正根得S_k+1=√(k+1)．
故当n=k+1时，结论成立．…（12分）
由①、②可知，对一切n∈N₊，S_n=√(n)都成立．…（13分）