证明:对任意自然数n,都有2^n+2>n^2请用数学归纳法证明

Question

证明:对任意自然数n,都有2^n+2>n^2
请用数学归纳法证明

Answer 1

n=1时,2^1+2>1^2, 即4>1显然成立
n=2时, 2^2+2>2^2, 即6>4显然成立.
n=3时,2^3 + 2>3^2, 10>9,显然成立.
假设在n=k (k>=3) 时,2^k+2>k^2成立
则在n=k+1时,
2^(k+1)+2
=2*(2^k)+2
=2^(2^k+2)-2
>2k^2-2
=k^2+k^2-2
因为k>3, 所以k^2-2 > 3k-2 = 2k+k-2>2k+1
所以
k^2+k^2-2
>k^2+2k+1
=(k+1)^2
因此,当n=k+1时
有2^(k+1)+2>(k+1)^2.
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