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10^n+3(4^n)-4能被9整除(数学归纳法)如题QAQ
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10^n + 3(4^n) - 4能被9整除(数学归纳法)
如题QAQ
如题QAQ
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答案和解析
当n=1 10^1+3(4^1)-4=10+3-4=9 9|9 成立
设n=k时,9 | 10^k+3(4^k)-4 成立
当n=k+1
10^(k+1)+3(4^(k+1))-4
=10(10^k)+12*(4^k)-4
=9(10^k)+10^k+9*(4^k)+3(4^k)-4
=9(10^k)+9*(4^k)+(10^k+3(4^k)-4)
由於 9| 9(10^n)+9*(4^n) 且由归纳假设知 9|(10^n+3(4^n)-4)
所以 9|9(10^n)+9*(4^n)+(10^n+3(4^n)-4) =10^(n+1)+3(4^(n+1))-4
由数学归纳法知,9 | 10^n+3(4^n)-4 成立
设n=k时,9 | 10^k+3(4^k)-4 成立
当n=k+1
10^(k+1)+3(4^(k+1))-4
=10(10^k)+12*(4^k)-4
=9(10^k)+10^k+9*(4^k)+3(4^k)-4
=9(10^k)+9*(4^k)+(10^k+3(4^k)-4)
由於 9| 9(10^n)+9*(4^n) 且由归纳假设知 9|(10^n+3(4^n)-4)
所以 9|9(10^n)+9*(4^n)+(10^n+3(4^n)-4) =10^(n+1)+3(4^(n+1))-4
由数学归纳法知,9 | 10^n+3(4^n)-4 成立
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