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已知,在△ABC中,AC>AB,BC边的垂直平分线与∠BAC的外角∠PAC的平分线相交于E,与BC相交点D,DE与AC相交于点F.(1)如图1,当∠ABC=3∠ACB时,求证:AB=AE;(2)如图2,当∠BAC=90°,∠ABC=2∠A

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已知,在△ABC中,AC>AB,BC边的垂直平分线与∠BAC的外角∠PAC的平分线相交于E,与BC相交点D,DE与AC相交于点F.

(1)如图1,当∠ABC=3∠ACB时,求证:AB=AE;
(2)如图2,当∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACB,过点D作AC的垂线,垂足为点H,并延长DH交射线AE于点M,过点E作BP的垂线,垂足为点G,点D1是点D关于直线AC的对称点,试探究AG和MD1之间的数量关系,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:连接BF,如图1.
设∠ACB=x,则∠ABC=3x,
∵FD垂直平分BC,
∴FB=FC,
∴∠FBC=∠FCB=x,
∴∠ABF=∠AFB=2x,
∴AB=AF,∠PAC=4x.
∵AE平分∠PAC,
∴∠EAC=2x.
∵∠AFE=∠DFC=90°-x,
∴∠AEF=180°-∠EAF-∠AFE=180°-2x-(90°-x)=90°-x,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF,
∴AB=AE.

(2)AG=MD1
证明:作EN⊥AC于N,取EC中点O,
连接AD1、NM、MC、MO、NO、EB、EC,如图2.
∵AE平分∠PAC,EN⊥AC,EG⊥AP,
∴EG=EN,∠EGA=∠ENA=90°.
∵∠BAC=90°,∴∠EGA=∠ENA=∠BAC=90°,
∴四边形EGAN是矩形.
∵EG=EN,∴矩形EGAN是正方形,
∴AG=AN,∠EAN=45°,∠GEN=90°.
∵ED垂直平分BC,∴EB=EC.
在Rt△BEG和Rt△CEN中,
EB=EC
EG=EN

∴Rt△BEG≌Rt△CEN(HL),
∴∠GBE=∠NCE,∠GEB=∠NEC,
∴∠GEN=∠BEC=90°
∵EB=EC,
∴∠ECB=∠EBC=45°.
∵∠BAC=90°,∠ABC=2∠ACB,
∴∠ABC=60°,∠ACB=30°,
∴∠ABE=∠ACE=15°.
∵∠BAC=90°,点D为BC中点,
∴AD=CD,
∴∠DAC=∠DCA=30°.
∵点D与点D1关于AC对称,
∴∠D1AC=∠DAC=30°,
∴∠MAD1=45°-30°=15°.
∵DA=DC,DM⊥AC,
∴DM垂直平分AC,
∴MA=MC,
∴∠CMH=∠AMH=90°-45°=45°,
∴∠AMC=90°,
∴∠ENC=∠AMC=90°.
∵点O为EC中点,
∴ON=OM=OE=OC=
1
2
EC,
∴E、N、C、M四点共圆,
∴∠EMN=∠ECN=15°,
∴∠MAD1=∠EMN=15°,
在△AMN和△MAD1中,
∠MAD1=∠AMN
AM=MA
∠AMD1=∠MAN=45°

∴△AMN≌△MAD1
∴AN=MD1
∴AG=MD1