如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD，点E在直线AC上，直线DE交直线BA于点F，且∠BDA=∠CDE（1）求证：BF?CE=AB2；（2）当∠BAC=120°时，作射线CF，在射线CF上确定一点G，

Question

如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，点D在BC边上，连接AD，点E在直线
AC上，直线DE交直线BA于点F，且∠BDA=∠CDE
（1）求证：BF?CE=AB ² ；
（2）当∠BAC=120°时，作射线CF，在射线CF上确定一点G，使∠BGC=∠ABC，直线BG交直线AC于H，请你猜想AB，CE，AH这三条线段之间的数量关系，并且证明你的猜想．

Answer 1

考点：
相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 含30度角的直角三角形 平行线分线段成比例
专题：
分类讨论
分析：
（1）如图1，作辅助线；证明ABBF=BKBD；证明CEAC=CDCK；证明BKBD=CDCK，得到ABBF=CEAC，得到BF×CE=AB2．（2）如图2或3，作辅助线；证明BC2=CH×BF；证明BC2=3AB2，得到CH×BF=3BF×CE，得到CH=3CE，即可解决问题．

（1）如图1，过A作DF的平行线交BC于K，∵AK∥DF，∴ABBF=BKBD；∵AK∥DE，∴CEAC=CDCK；∵∠BDA=∠CDE，∴∠AKC=∠ADB；∵AB=AC，∴∠B=∠C，在△ABD与△ACK中，∠B=∠C∠ADB=∠AKCAB=AC，∴△ABD≌△ACK（AAS），∴BD=CK，BK=CD，∴BKBD=CDCK，∴ABBF=CEAC，∴BF?CE=AB?AC，而AB=AC，∴BF×CE=AB2．（2）∵∠BGC=∠BCH，∠GBC=∠CBH，∴△GBC∽△CBH，∴∠BHC=∠BCG；∵∠FBC=∠HCB，∴△BHC∽△FCB，∴CHBC=BCBF，∴BC2=CH×BF；过点A作BC的垂线，垂足是K；∵∠BAC=120°，∴∠B=∠ACB=30°，BK=CK=12BC；∵∠AKB=90°，∴cos∠ABK=BKAB=32，∴BC2=3AB2，由（1）得BF×CE=AB2，∴CH×BF=3BF×CE∴CH=3CE．①如图2，当H在AC上时，AB、CE、AH这三条线段之间的数量关系：3CE+AH=AB．②如图3，当H在CA延长线上时，AB、CE、AH这三条线段之间的数量关系：3CE-AH=AB．
点评：
该题以三角形为载体，主要考查了全等三角形的判定及其性质的应用、相似三角形的判定及其性质的应用等几何知识点问题；对综合的分析问题解决问题的能力提出了较高的要求．