如图（1），点M，N分别在等边三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．（1）求证：∠BQM=60°；（2）如图（2），若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，其它条件不变，∠BQM=60°

Question

如图（1），点M，N分别在等边三角形ABC的BC，CA边上，且BM=CN，AM，BN交于点Q．
（1）求证：∠BQM=60°；
（2）如图（2），若将题中的点M，N分别移动到BC，CA的延长线上，其它条件不变，∠BQM=60°还成立吗？（不需证明）
（3）如图（3），若将题中的条件“点M，N分别在等边三角形ABC的BC，CA边上”改为“点M，N分别在正方形ABCD的BC，CD边上”，其它条件不变，∠BQM=60°还成立吗？若成立，请说明理由，若不成立，请写出∠BQM的度数．

Answer 1

（1）证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，…（1分）
在△ABM和△BCN中，

AB＝BC

∠ABM＝∠BCN

BM＝CN

∴△ABM≌△BCN（SAS），…（3分）
∴∠BAM=∠CBN，…（4分）
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN，
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=60°；…（5分）

（2）∠BQM=60°还成立．…（7分）理由如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=60°，
在△ABM和△BCN中，

AB＝BC

∠ABM＝∠BCN

BM＝CN

∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BMA=∠CNB，
∴∠BQM=∠CNB+∠QAN=∠BMA+∠CAM=∠ACB=60°；

（3）∠BQM=60°不成立，∠BQM=90°．理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BCN=90°，
在△ABM和△BCN中，

AB＝BC

∠ABM＝∠BCN

BM＝CN

，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BQM=∠BAM+∠ABN，
∴∠BQM=∠CBN+∠ABN=∠ABC=90°．