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在三角形中,三个角的余弦平方后相加得一,证明是直角三角形
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在三角形中,三个角的余弦平方后相加得一,证明是直角三角形
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答案和解析
设三个角分别为α,β,γ
由已知 ,cos²α+cos²β+cos²γ=1
=> (1+ cos2α）/2 +(1+cos2β）/2 +cos²（α+β）=1
=> ( cos2α+cos2β）/2 +cos²（α+β）=0
=> cos(α+β)cos(α-β)+cos²（α+β）=0
=> cos(α+β)[cos(α-β)+cos（α+β）]=0
=>cos(α+β)2cosαcosβ = 0
=>cos(α+β)=0 或 cosα=0 或 cosβ =0
=>α+β=π/2 或 α=π/2 或 β =π/2
=>即α 、 β 、γ=π-(α+β)有一个角为 π/2
所以△是直角三角形
由已知 ,cos²α+cos²β+cos²γ=1
=> (1+ cos2α）/2 +(1+cos2β）/2 +cos²（α+β）=1
=> ( cos2α+cos2β）/2 +cos²（α+β）=0
=> cos(α+β)cos(α-β)+cos²（α+β）=0
=> cos(α+β)[cos(α-β)+cos（α+β）]=0
=>cos(α+β)2cosαcosβ = 0
=>cos(α+β)=0 或 cosα=0 或 cosβ =0
=>α+β=π/2 或 α=π/2 或 β =π/2
=>即α 、 β 、γ=π-(α+β)有一个角为 π/2
所以△是直角三角形
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