我们给出如下定义：如果一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一边重合，且两个三角形不重叠，我们称这两个直角三角形是一对“伴侣三角形”，由这两个直角三角形拼成的四边形

Question

我们给出如下定义：如果一个直角三角形的斜边与另一个直角三角形的一边重合，且两个三角形不重叠，我们称这两个直角三角形是一对“伴侣三角形”，由这两个直角三角形拼成的四边形我们称为“美的四边形”．并且称这两个三角形重合的边为“美的四边形”的宽，另一条对角线叫“美的四边形”的长．解答下列问题：
（1）判断图1是不是“美的四边形”？
（2）如图2，在8×8的正方形网格中，给定一个Rt△ABC，请你补上一个格点D，使以A、B、C、D为顶点的四边形是一个“美的四边形”（画出一个即可），并回答这样的点D共有几个？
（3）如图3，根据图中已知条件求“美的四边形”的长．（如有需要可使用56²+48²=5440）

Answer 1

（1）两个直角边重合，不符合题中的信息．
所以图1不是“美的四边形”．

（2）符合要求的点有7个．

（3）如图3，作出辅助线CE⊥AD于E，交DA的延长线于E，
由∠BAD=90°得sin∠CAE=cos∠BAC=(4)/(5)，
∴CE=AC×sin∠CAE=4×(4)/(5)=(16)/(5)，
∴AE=AC×cos∠CAE=4×(3)/(5)=(12)/(5)，
∴DE=AE+AD=12+(12)/(5)=(72)/(5)，
∴CD=√(DE2+CE2)=(8)/(5)√(85)
故线段CD=(8)/(5)√(85)．