在△ABC中,CD,BE是外角平分线,BD,CE是内角平分线,分别相交于D,E,试探究∠D与∠E的关系

Question

在△ABC中,CD,BE是外角平分线,BD,CE是内角平分线,分别相交于D,E,试探究∠D与∠E的关系

Answer 1

两者的大小关系是：∠D＋∠E＝180°.　证明如下：
分别在AB的延长线、AC的延长线上各任取一点G、H.
显然有：∠ABC＋∠CBG＝180°、　∠ACB＋∠BCH＝180°.
∵∠CBE＝∠ABC/2、　∠CBD＝∠CBG/2、　∠BCE＝∠ACB/2、　∠BCD＝∠BCH/2,
∴∠DBE＝∠CBD＋∠CBE＝（∠CBG＋∠ABC）/2＝180°/2＝90°.
　∠DCE＝∠BCD＋∠BCE＝（∠BCH＋∠ACB）/2＝180°/2＝90°.
∴∠DBE＋∠DCE＝180°,　∴B、D、C、E共圆,　∴∠D＋∠E＝180°.