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如图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.(1)判断OE与OF的大小关系?并说明理由;(2)当点O运动到何处时,四边形AE
题目详情
如图,△ABC中,点O是AC边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.
(1)判断OE与OF的大小关系?并说明理由;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并说出你的理由;
(3)在(2)的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边形AECF会是正方形.
(1)判断OE与OF的大小关系?并说明理由;
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?并说出你的理由;
(3)在(2)的条件下,当△ABC满足什么条件时,四边形AECF会是正方形.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵CE平分∠ACB,∴∠1=∠2,
又∵MN∥BC,
∴∠1=∠3,∴∠3=∠2,
∴EO=CO,同理,FO=CO,
∴EO=FO.
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
理由:∵EO=FO,点O是AC的中点.∴四边形AECF是平行四边形,
∵CF平分∠BCA的外角,∴∠4=∠5,
又∵∠1=∠2,∴∠2+∠4=
×180°=90°.
即∠ECF=90度,∴平行四边形AECF是矩形.
(3)当△ABC是直角三角形时,即∠ACB=90°时,四边形AECF会是正方形,
理由:由(2)证明可知,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,
∵∠ACB=90°,CE、CN分别是∠ACB与∠ACB的外角平分线,
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°,
∴AC⊥MN,
∴四边形AECF是正方形.
又∵MN∥BC,
∴∠1=∠3,∴∠3=∠2,
∴EO=CO,同理,FO=CO,
∴EO=FO.
(2)当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形.
理由:∵EO=FO,点O是AC的中点.∴四边形AECF是平行四边形,
∵CF平分∠BCA的外角,∴∠4=∠5,
又∵∠1=∠2,∴∠2+∠4=
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即∠ECF=90度,∴平行四边形AECF是矩形.
(3)当△ABC是直角三角形时,即∠ACB=90°时,四边形AECF会是正方形,
理由:由(2)证明可知,当点O运动到AC的中点时,四边形AECF是矩形,
∵∠ACB=90°,CE、CN分别是∠ACB与∠ACB的外角平分线,
∴∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=45°,
∴AC⊥MN,
∴四边形AECF是正方形.
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