利用等比数列的前n项和的公式证明：如果a不等于b,且a,b都不为0,则a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+…+ab^(n-1)+b^n=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)其中n属于N*

Question

利用等比数列的前n项和的公式证明：如果a不等于b,且a,b都不为0,则
a^n+a^(n-1)b+a^(n-2)b^2+…+ab^(n-1)+b^n=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b)
其中n属于N*

Answer 1

c(m)=cq^(m-1),m=1,2,...
q不等于1时,
S(m)=c(1)+c(2)+...+c(m)=c[q^m-1]/[q-1].
c(m)=a^(n-m+1)b^(m-1),m=1,2,...,n,n+1.
c=c(1)=a^n,q=a^(-1)b.
S(n+1)=c(1)+c(2)+...+c(n)+c(n+1)=a^n+a^(n-1)b+...+ab^(n-1)+b^n
=c[q^(n+1)-1]/[q-1]
=a^n[a^(-n-1)b^(n+1)-1]/[a^(-1)b-1]
=a^(n+1)[a^(-n-1)b^(n+1)-1]/(b-a)
=[b^(n+1)-a^(n+1)]/(b-a)
=[a^(n+1)-b^(n+1)]/(a-b).