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如图,△ABC中,点O是边AC上一个动点,过O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF;(2)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5d6034a85edf8db1093f90d50a23dd54564e746a.jpg)
(1)求证:OE=OF;
(2)当点O在边AC上运动到什么位置时,四边形AECF是矩形?并说明理由.
(3)当点O在边AC上运动到何处,且△ABC满足什么条件时,四边形AECF是正方形?
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵MN交∠ACB的平分线于点E,交∠ACB的外角平分线于点F,
∴∠2=∠5,∠4=∠6,
∵MN∥BC,
∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EO=CO,FO=CO,
∴OE=OF;
(2)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.
证明:当O为AC的中点时,AO=CO,
∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵∠ECF=90°,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dbb44aed2e738bd486565e80a28b87d6277ff908.jpg)
∴平行四边形AECF是矩形.
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时,若∠ACB=90°,四边形AECF为正方形.
证明:由(2)可得点O在边AC上运动到AC中点时平行四边形AECF是矩形,
∵∠ACB=90°,
∴∠2=45°,
∵平行四边形AECF是矩形,
∴EO=CO,
∴∠1=∠2=45°,
∴∠MOC=90°,
∴AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.
∴∠2=∠5,∠4=∠6,
∵MN∥BC,
∴∠1=∠5,∠3=∠6,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∴EO=CO,FO=CO,
∴OE=OF;
(2)当点O在边AC上运动到AC中点时,四边形AECF是矩形.
证明:当O为AC的中点时,AO=CO,
∵EO=FO,
∴四边形AECF是平行四边形,
∵∠ECF=90°,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/dbb44aed2e738bd486565e80a28b87d6277ff908.jpg)
∴平行四边形AECF是矩形.
(3)当点O在边AC上运动到AC中点时,若∠ACB=90°,四边形AECF为正方形.
证明:由(2)可得点O在边AC上运动到AC中点时平行四边形AECF是矩形,
∵∠ACB=90°,
∴∠2=45°,
∵平行四边形AECF是矩形,
∴EO=CO,
∴∠1=∠2=45°,
∴∠MOC=90°,
∴AC⊥EF,
∴四边形AECF是正方形.
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