在正方形ABCD中,E是CD中点,P在BC上,且AP＝PC+CD,求：AE平分∠DAP

Question

在正方形ABCD中,E是CD中点,P在BC上,且AP＝PC+CD,求：AE平分∠DAP

Answer 1

连接PE,设AB=BC=CD=DA=1,
则DE=CE=1/2.
AP=PC+CD,
AP²=(PC+CD)²,
AB²+BP²=PC²+2*PC*CD+CD²,
1+(BC-PC)²=PC²+2*PC+1,
(1-PC)²=PC²+2*PC,
1-2*PC+PC²=PC²+2*PC,
4*PC=1,
PC=1/4,PB=1-1/4=3/4
PE²=PC²+CE²=1/16+(CD/2)²=1/16+(1/2)²=5/16;
AE²=AD²+DE²=5/4;
AP²=AB²+BP²=1+(3/4)²=25/16,
PE²+AE²=5/16+5/4=25/16=AP²,
故三角形AEP为直角三角形,∠AEP=90度,
AD:AE=1:√5/2=2√5/5,
DE:EP=1/2:√5/4=2√5/5,
∠ADE=∠AEP=90度,
所以RT三角形ADE∽RT三角形AEP,[两边对应成比例且夹角相等,两个三角形相似.]
∠EAD=∠PAE,
故AE平分∠DAP.