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如图,P是△ABC中的∠BAC的外角平分线上一点.(1)求证:PB+PC>AB+AC;(2)若P是△ABC的∠BAC的平分线上一点且AC>AB,画出图形,试分析PB、PC、AB、AC间又有怎样的不等关系?
题目详情
如图,P是△ABC中的∠BAC的外角平分线上一点.
(1)求证:PB+PC>AB+AC;
(2)若P是△ABC的∠BAC的平分线上一点且AC>AB,画出图形,试分析PB、PC、AB、AC间又有怎样的不等关系?
(1)求证:PB+PC>AB+AC;
(2)若P是△ABC的∠BAC的平分线上一点且AC>AB,画出图形,试分析PB、PC、AB、AC间又有怎样的不等关系?
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:在BA延长线上截取AD=AC,连接DP,
∵AP平分∠DAC,
∴∠DAP=∠CAP,
在△ADP和△ACP中,
,
∴△ADP≌△ACP(SAS),
∴PC=PD,
在△BPD中,PB+PD>BD=AB+AD,
∴PB+PC>AB+AC;
(2)如图所示:在AC上截取AE=AB,连接PE,
∵AP平分∠BAC,
∴∠BAP=∠EAP,
在△ABP和△AEP中,
,
∴△ABP≌△AEP(SAS),
∴BP=EP,
在△PEC中,PE+PC>EC,即PB+PC>EC=AC-AE=AC-AB.
∵AP平分∠DAC,
∴∠DAP=∠CAP,
在△ADP和△ACP中,
|
∴△ADP≌△ACP(SAS),
∴PC=PD,
在△BPD中,PB+PD>BD=AB+AD,
∴PB+PC>AB+AC;
(2)如图所示:在AC上截取AE=AB,连接PE,
∵AP平分∠BAC,
∴∠BAP=∠EAP,
在△ABP和△AEP中,
|
∴△ABP≌△AEP(SAS),
∴BP=EP,
在△PEC中,PE+PC>EC,即PB+PC>EC=AC-AE=AC-AB.
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