如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）若CE=12，CF=5，求OC的长；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形

Question

如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．

（1）若CE=12，CF=5，求OC的长；
（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；
（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．

Answer 1

（1） 如图1中，∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD，
∴∠ACE=∠ECB=(1)/(2)∠ACB，∠ACF=∠FCD=(1)/(2)∠ACD，
∴∠ACE+∠ACF=(1)/(2)（∠ACB+∠ACD）=90°，
∴∠ECF=90°，
∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠ECB=∠OCE，∠OFC=∠FCD=∠FCO，
∴EO=OC=FO，
在RT△ECF中，∵∠ECF=90°，EC=12，CF=5，
∴EF=√(EC2+CF2)=√(122+52)=13，
∴OC=(1)/(2)EF=(13)/(2)．
（2）如图2中，四边形BCFE不可能是菱形．
由（1）可知∠ECF=90°，
∴EF>CF，
∴四边形BCFE不可能是菱形．
（3）如图3中，当点O运动到AC等中点，且∠ACB=90°时四边形AECF是正方形．
证明：由（1）可知OC=OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC=EF，
∴四边形AECF是矩形，
∵MN∥BC，
∵∠AOE=∠ACB=90°，
∴EO⊥AC，∵OA=OC，
∴EA=EC，
∴四边形AECF是正方形．