如图所示,在△ABC中,点O是AB边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设直线MN交∠ABC的外角平分线于点F.（1）求证：EO=FO(2)当点O运动到何处时,四边形AEBF是矩形?请证明你的结论如图所示，在△ABC中

Question

如图所示,在△ABC中,点O是AB边上的一个动点,过点O作直线MN∥BC,设直线MN交∠ABC的外角平分线于点F.
（1）求证：EO=FO
(2)当点O运动到何处时,四边形AEBF是矩形?请证明你的结论
如图所示，在△ABC中，点O是AB边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设直线MN交∠ABC的平分线于点E，交∠ABC的外角平分线于点F。
（1）求证：EO=FO
(2)当点O运动到何处时，四边形AEBF是矩形？请证明你的结论

Answer 1

(1) 延长CB到D,且BE平分∠ABC,则有∠ABE=∠CBE,又EF∥BC,所以∠FEB=∠EBC,则∠ABE=∠FEB,则OB=OE,又FB平分∠ABD,所以∠ABF=∠DBF,则同理证明OB=OF,所以OE=OF
(2)O运动到AB中点时,四边形AEBF是矩形,
FB平分∠ABD,则∠ABF=1/2∠ABD,同样∠ABE=1/2∠ABC,又∠ABC+∠ABD=180度,所以∠FBE=∠ABF+∠ABE=90度,又OA=OB,上例证明OB=OE=OF,很容易证明△AOF同△BOE全等
∠AFE=∠FAB=∠ABE,则AF∥BE,则同理证明BF∥AE,所以四边形AEBF是矩形(平行四边形+直角)