四边形abcd内接于半圆o,ab为直径,ab=8,ad=dc=2,求bc的长

Question

四边形abcd内接于半圆o,ab为直径,ab=8,ad=dc=2,求bc的长

Answer 1

∵AB是直径,∴AC⊥BC,∴由勾股定理,有：AC^2＋BC^2＝AB^2＝64.
∴15AC^2＝15×64－15BC^2.······①
∵AB是直径,∴AD⊥BD,∴由勾股定理,有：AD^2＋BD^2＝AB^2＝64,
∴BD^2＝64－AD^2＝64－4＝60,∴BD＝2√15.
由托勒密定理,有：BD×AC＝AD×BC＋AB×CD,∴2√15AC＝2BC＋8×2,
∴√15AC＝BC＋8,∴15AC^2＝BC^2＋16BC＋64.······②
由①、②,得：BC^2＋16BC＋64＝15×64－15BC^2,
∴16BC^2＋16BC－14×64＝0,∴BC^2＋BC－14×4＝0,∴BC^2＋BC－56＝0,
∴（BC＋8）（BC－7）＝0,∴BC＝7.