如图，四边形ABCD内接于O，对角线AC、BD相交于点E，且AB=AC，BD平分∠ABC，AD、BC延长线交于点F．（1）求证：∠ADB=∠CDF；（2）求证：AB=CF．

Question

如图，四边形ABCD内接于 O，对角线AC、BD相交于点E，且AB=AC，BD平分∠ABC，AD、BC延长线交于点F．

（1）求证：∠ADB=∠CDF；
（2）求证：AB=CF．

Answer 1

（1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB．
∵∠ADB与∠ACB是同弧所对的圆周角，
∴∠ADB=∠ACB．
∵∠CDF=∠ABC，
∴∠ADB=∠CDF；

（2）证明：∵BD平分∠ABC
∴∠ABD=∠CBD．
∵∠CBD=∠CAD，
∴∠ABD=∠CAD．
∵四边形ABCD是圆内接四边形，
∴∠DCF=∠BAD．
∵由（1）可知∠ADB=∠CDF，
∴∠F=∠ABD，
∴∠F=∠CAD，
∴AC=CF．
∵AB=AC，
∴AB=CF．