如图，△ABC为圆的内接三角形，∠ABC的平分线BF交圆于点E，过点B作圆的切线交AC的延长线于点D（Ⅰ）证明：BD=DF；（Ⅱ）若∠D=∠EBC，求证：AB2BD2=AFCD．

Question

如图，△ABC为圆的内接三角形，∠ABC的平分线BF交圆于点E，过点B作圆的切线交AC的延长线于点D

（Ⅰ）证明：BD=DF；
（Ⅱ）若∠D=∠EBC，求证：(AB2)/(BD2)=(AF)/(CD)．

Answer 1

证明：（Ⅰ）∵过点B作圆的切线交AC的延长线于点D，
∴∠CBD=∠A，
∵∠ABC的平分线BF交圆于点E，
∴∠ABF=∠CBF，
∵∠CFB=∠A+∠ABF，
∴∠CFB=∠DBF，
∴BD=DF；
（Ⅱ）∵BD是切线，
∴∠DBC=∠A，
又∵∠BDC=∠ADB，
∴△BDC∽△ADB，
∴(BD)/(AD)=(DC)/(DB)=(BC)/(AB)，
∴BD²=AD×DC，(BD)/(BC)=(AD)/(AB)
∵∠D=∠EBC，∠CFB=∠DBF，∠ACB=∠CBD+∠D
∴△DBF∽△BCF，
∴(DB)/(BC)=(BF)/(CF)，
∵(BD)/(BC)=(AD)/(AB)，
∴(BF)/(CF)=(AD)/(AB)，
∵BF=BC，
∴(BC)/(CF)=(AD)/(AB)，
∵∠ABC的平分线BF交圆于点E，
∴利用角平分线的性质可得(AB)/(BC)=(AF)/(CF)，
∴(BC)/(CF)=(AB)/(AF)，
∴(AB)/(AF)=(AD)/(AB)，
∴AB²=AD×AF，
∵BD²=AD×DC，
∴(AB2)/(BD2)=(AF)/(CD)．