在三角形ABC中,BC=8,高AH=4.三角形DEF在三角形ABC内,三个顶点D,E,F分别在BC,AB和AC上,且点D与点A在直线EF的异侧,我们称三角形DEF为三角形ABc的内接三角形(1)如图(2),在三角形ABC的内接三角形DEF中,DE=DF

Question

在三角形ABC中,BC=8,高AH=4.三角形DEF在三角形ABC内,三个顶点D,E,F分别在BC,AB和AC上,且点D与点A在直线EF的异侧,我们称三角形DEF为三角形ABc的内接三角形(1)如图(2),在三角形ABC的内接三角形DEF中,DE=DF,角EDF=90度,且EF//BC,EF与AH交于G,求S三角形DEF.(2)如图(3),在三角形ABC的内接三角形DEF中,DE=EF,且FE//BC,EF与AH交于G,求等腰三角形DFE面积最大值.

Answer 1

∵△DEF∽△ABC∴S△DEF/S△ABC=EF2/BC2∴S△DEF=（16/64）（8×4÷2）=4（2）易证 GH为△EFD边上的高,设ED为x,∵ED=FD,ED⊥DF∴EF=√2X,GH=√2X/2,∵EF∥BC∴AG/AH=EF/BC∴[4-（√2X/2）]/4=√2X/8∴X=2√2 ∴S△DEF=2√2×2√2÷2=4（3） 设EF为a,GH为b ,∵EF∥BC∴AG/AH=EF/BC∴（4-b）/4=a/8∴a=8-2b∵S△EFD=1/2 （a×b）=-b2+4b=-（b-2）2+4≥4 ∴最大面积为4