已知⊙O的半径为R,在它的内接三角形ABC中,有2R（sinA的平方-sinC的平方）=（"根号2"a-b)sinB成立求△ABC面积S的最大值

Question

已知⊙O的半径为R,在它的内接三角形ABC中,有2R（sinA的平方-sinC的平方）=（"根号2"a-b)sinB成立
求△ABC面积S的最大值

Answer 1

a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是外接圆半径）
b=2RsinB,c=2RsinC,a=2RsinA
2R（sin^2A-sin^2C）=（√2a-b)sinB成立
2R（a^2-c^2）/(2R)^2=（√2a-b)b/(2R)
a^2-c^2=√2ab-b^2,
c^2=a^2+b^2-2ab√2/2=a^2+b^2-2abcosC,cosC=√2/2,C=π/4,sinC=√2/2,c=√2R
S△=abc/(4R) (R是外接圆半径)
=2RsinA*2RsinB*√2R/(4R)=√2R^2sinAsinB=√2R^2sinAsin(π-A-π/4)
=√2R^2sinAsin(3π/4-A)=√2R^2sinA[sin(3π/4)cosA-cos(3π/4)sinA]=R^2(cosA+sinA)sinA
(cosA+sinA)sinA=cosAsinA+sin^2A=sin(2A)/2+[1-cos(2A)]/2=1/2+sin2A-cos2A
=1/2+√2[√2sin2A/2-√2cos2A/2]=1/2+√2sin(2A-π/4)<=1/2+√2
当A=3π/8,△ABC面积有最大值=(1/2+√2)R^2