如图,已知三角形ABC是圆O的内接三角形,AB=AC,点P是弧AB中点,连接

Question

如图,已知三角形ABC是圆O的内接三角形,AB=AC,点P是弧AB中点,连接

Answer 1

（1）∵∠BPC=60°,
∴∠BAC=60°,
∵AB=AC,
∴△ABC为等边三角形,
∴∠ACB=∠ABC=60°,
∴∠APC=∠ABC=60°,
而点P是AB‍ 的中点,
∴∠ACP=12‍ ∠ACB=30°,
∴∠PAC=90°,
∴tan∠PCA= PAAC‍ =tan30°= √33‍ ,
∴AC= √3‍PA；
（2）过A点作AD⊥BC交BC于D,连结OP交AB于E,如图,
∵AB=AC,
∴AD平分BC,
∴点O在AD上,
连结OB,则∠BOD=∠BAC,
∵∠BPC=∠BAC,
∴sin∠BOD=sin∠BPC= 2425‍ =BDOB‍ ,
设OB=25x,则BD=24x,
∴OD=√OB2−BD‍2 =7x,
在Rt△ABD中,AD=25x+7x=32x,BD=24x,
∴AB= √AD2+BD‍2 =40x,
∵点P是 AB‍的中点,
∴OP垂直平分AB,
∴AE=12‍ AB=20x,∠AEP=∠AEO=90°,
在Rt△AEO中,OE= √AO2−AE‍2 =15x,
∴PE=OP﹣OD=25x﹣15x=10x,
在Rt△APE中,tan∠PAE= PEAE =10x20x =12‍ ,
即tan∠PAB的值为 1/2‍