正三角形ABC内接于⊙o,M、N分别是AB、AC的中点,延长MN交⊙于点D,连结BD交AC于点P,则PC/PA=?

Question

正三角形ABC 内接于⊙o ,M、N分别是AB、AC的中点,延长MN交⊙ 于点D,连结BD交AC于点P,则PC/PA=?

Answer 1

设外接圆圆心为O,延长MN交⊙O于D.
并设正△ABC边长为1.
MN是△ABC的中位线,MN‖BC,MN=1/2BC=1/2.
连结BN,则BN必过圆心O,连结OC.设外接圆半径为R.
BN=√(BC²-CN²)=√(1-1/4)=√3/2.
RT△ONC中：OC²=ON²+CN²
R²=(√3/2- R) ²+1/4,R=√3/3.
从而OB=R=√3/3.ON=BN-OB=√3/2-√3/3=√3/6.
过O作OE⊥MN,E为垂足,
OE=√(ON²-EN²)=√(ON²-1/4MN²)=√(1/12-1/16)= √3/12.
从而ED=√(OD²-OE²)=√(R²-OE²)=√(1/3-3/144)=√5/4.
ND=ED-EN=√5/4-1/4=(√5-1)/4.
由MN‖BC知,PC/PN=BC/ND=1/((√5-1)/4)= √5+1.
∴PC/CN=(√5+1)/ (√5+2)=3-√5.
∵CN=1/2,∴PC=(3-√5)/2.
∴PC/PA=[(3-√5)/2]/[1-(3-√5)/2]= (3-√5)/(√5-1)= (√5-1)/2.