关于三棱锥证明题已知：三棱锥P-ABC中,三角形PBC为等边三角形平面PBC⊥平面ABC,∠ACB=90°∠BAC=30°,M是BC中点,求二面角C-PA-M的正切值

Question

关于三棱锥证明题
已知：三棱锥P-ABC中,三角形PBC为等边三角形 平面PBC⊥平面ABC, ∠ACB=90°∠BAC=30°,M是BC中点,求二面角C-PA-M的正切值

Answer 1

∵平面PBC⊥平面ABC,交线为BC,M是正三角形PBC的边BC上的中点.
有PM⊥BC,∴PM⊥平面ABC,
∵AC 平面ABC,∴AC⊥PM,又∠ACB=90°,
∴AC⊥平面PBC,从而平面PBC⊥平面PAC,作MH⊥PC,H为垂足,则MH⊥平面PAC,作MD⊥PA,D为垂足,连结DH则由三垂线定理的逆定理知DH⊥PA,∠MDH是二面角C—PA—M的平面角.
在正△PBC中,边长为a,则PM=√3*a/2 ,MH= √3*a/4 .
在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=a,
则MA=√（AC^2+MC^2）=√(a*cot30)^2+a^2/4=√13*a/2
PA=√（PM^2+AM^2)=2a ,∴DM=PM*AM/PA=√39除以8 .
在Rt△MHD中,sin∠MDH=2√13除以13 .