在正方体AC1中M、N分别为A1B1、A1D1的中点E、F分别为B1C1、C1D1的中点.(1)求证平面AMN∥平面EFDB;(2)求平面AMN与平面EFDB间的距离.

Question

在正方体AC ₁ 中 M、N分别为A ₁ B ₁ 、A ₁ D ₁ 的中点 E、F分别为B ₁ C ₁ 、C ₁ D ₁ 的中点.

(1)求证平面AMN∥平面EFDB;

(2)求平面AMN与平面EFDB间的距离.

Answer 1

解:(1)∵AC ₁ 是正方体 M、F分别为棱A ₁ B ₁ 、D ₁ C ₁ 的中点

∴AM∥DF.又DF 平面EFDB

∴AM∥平面EFDB.

同理 AN∥平面EFDB

而AM∩AN=A

∴平面AMN∥平面EFDB.

(2)取BB ₁ 、CC ₁ 的中点Q、P

连结A ₁ Q、A ₁ P

∵PQ∥BC

∴PQ⊥面AB ₁ .

又∵M为A ₁ B ₁ 的中点

∴AM⊥A ₁ Q.由三垂线定理得A ₁ P⊥AM.

又PC ₁ ⊥面A ₁ C ₁ M、N分别为A ₁ B ₁ 、A ₁ D ₁ 的中点

∴A ₁ C ₁ ⊥MN.

由三垂线定理得A ₁ P⊥MN 而AM∩MN=M

∴A ₁ P⊥面AMN.

由(1)知面AMN∥面EFDB

∴A ₁ P⊥面EFDB.

设A ₁ P与这两个平行平面交于O ₁ 、O ₂ 如图所示 则O ₁ O ₂ 的长为两平行平面间的距离 在平行四边形AA ₂ A ₃ A ₄ 中 O ₁ O ₂ = .