如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．（1）求证：PC⊥AC；（2）求二面角M-AC-B的余弦值．

Question

如图，四边形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直线AM与直线PC所成的角为60°．
（1）求证：PC⊥AC；
（2）求二面角M-AC-B的余弦值．

Answer 1

（1）证明：∵PC⊥BC，PC⊥AB，BC∩AB=B，
∴PC⊥平面ABC，
∵AC⊂平面ABC，∴PC⊥AC．
（2）取BC的中点N，连MN．
∵PM=∥CN，∴MN=∥PC，∴MN⊥平面ABC．
作NH⊥AC，交AC的延长线于H，连接MH．
由三垂线定理得AC⊥MH，∴∠MHN为二面角M-AC-B的平面角．
∵直线AM与直线PC所成的角为60°，
∴在Rt△AMN中，∠AMN=60°．
在△ACN中，AN=√(AC2+CN2−2AC•CN•cos120°)=√(3)．在Rt△AMN中，MN=AN•cot∠AMN=√(3)cot60°=1．
在Rt△NCH中，NH=CN•sin∠NCH=1×sin60°=(√(3))/(2)．
在Rt△MNH中，∵MH=√(MN2+NH2)=(√(7))/(2)，∴cos∠MHN=(NH)/(MH)=(√(21))/(7)．
故二面角M-AC-B的余弦值为(√(21))/(7)．