平行六面体ABCD—A1B1C1D1的各棱长都相等，且∠B1C1D1=∠CC1B1=∠CC1D1=60°.(1)求证：平面ACC1A1⊥平面BB1D1D；(2)若AA1=a，求C到平面A1B1C1的距离.

Question

平行六面体ABCD—A₁B₁C₁D₁的各棱长都相等，且∠B₁C₁D₁=∠CC₁B₁=∠CC₁D₁=60°.

(1)求证：平面ACC₁A₁⊥平面BB₁D₁D；

(2)若AA₁=a，求C到平面A₁B₁C₁的距离.

Answer 1

(1)证明：作CO⊥平面A₁B₁C₁于O.

∵∠CC₁B₁=∠CC₁D 

∴O在∠B₁C₁D₁的角平分线上.

又∵A₁B₁C₁D₁是菱形，∴D₁B₁⊥A₁C₁ A₁C₁平分∠B₁C₁D₁.

∴O∈A₁C₁，即A₁C₁是CC₁在平面A₁B₁C₁D₁内的射影.

因此，D₁B₁⊥CC₁，∴B₁D₁⊥平面A₁C₁CA.

∴平面BB₁D₁D⊥平面A₁C₁CA.

(2)解析：作OM⊥B₁C₁于M，连结CM，在Rt△CC₁M中，CC₁=a ∠CC₁M=60° ∴C₁M=a.

故C到平面A₁B₁C₁的距离为a.