不定积分∫根号X/（1+x）dx、∫1/根号（1+e^x）dx用第二类换元积分法,答案是知道的.

Question

不定积分∫根号X/（1+x） dx、∫1/根号（1+e^x） dx 用第二类换元积分法,答案是知道的.

Answer 1

∫√x/(1+x) dx,令u=√x,dx=2udu
= 2∫u²/(1+u²) du
= 2∫(1+u²-1)/(1+u²) du
= 2∫[1-1/(1+u²)] du
= 2[u-arctan(u)] + C
= 2√x - 2arctan(√x) + C
∫ dx/√(1+e^x),令e^x=tan²y,x=ln(tan²y),dx=2sec²y/tany dy=2secycscy dy
= ∫2secycscy/secy dy
= 2∫cscy dy
= -2ln|cscy+coty| + C
= -2ln|[1+√(1+e^x)] / √e^x| + C
= 2ln|√e^x| - 2ln|1+√(1+e^x)| + C
= x - 2ln|1+√(1+e^x)| + C