关于高等数学里积分第一中值定理的证明题目和答案的证明如下图。但是我在证明的时候用的不是这个方法，我的方法是：设G(x)为g(x)的原函数，t=G(x)，则x=G^-1(t)。∫(a→b)f(x)g(x)dx=∫(a→b

Question

关于高等数学里积分第一中值定理的证明题目和答案的证明如下图。 但是我在证明的时候用的不是这个方法，我的方法是： 设G(x)为g(x)的原函数，t=G(x)，则x=G^-1(t)。 ∫(a→b)f(x)g(x)dx = ∫(a→b)f(x)d（G(x)） = ∫（G(a)→G(b)）f（G^-1(t)）dt 则存在常数ε∈[G(a),G(b)]使t=ε时有 ∫（G(a)→G(b)）f（G^-1(t)）dt = f（G^-1(ε)）*（G(b)-G(a)） 即∫(a→b)f(x)g(x)dx = f（G^-1(ε)）*∫(a→b)g(x)dx ∴存在当x=G^-1(ε)时原式成立。 但“g在[a, b]上不变号”这个条件我根本没有用到...如果我的方法是对的，岂不是积分第一中值定理的适用范围就扩展了？ 我没找出自己有哪里不对，也不知道是不是我已经在某一步用过这个条件了而我没意识到。 所以希望能有高人来帮我看下，我的方法是否正确？如果不正确，错在哪里？

Answer 1

错误其实很简单，就是你在第二行变量替换的时候， 你得保证G(x)是单值函数。所以你直接写那么个区间是有问题的。或者说 你默认了G（x）是单值函数 比如∫(-1→1)x^2 *f（x）dx，在这里g(x)=x^2 你要是直接把x^2弄成t...