已知关于x的一元二次方程x2+（2m-3）x+m2=0有两个实数根x1和x2．（1）求实数m的取值范围；（2）若x1+x2=6-x1x2，求（x1-x2）2+3x1x2-5的值．

Question

已知关于x的一元二次方程x²+（2m-3）x+m²=0有两个实数根x₁和x₂．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x₁+x₂=6-x₁x₂，求（x₁-x₂）²+3x₁x₂-5的值．

Answer 1

（1）△=（2m-3）²-4m²
=4m²-12m+9-4m²
=-12m+9，
∵△≥0
∴-12m+9≥0，
∴m≤(3)/(4)；

（2）由题意可得
x₁+x₂=-（2m-3）=3-2m，
x₁x₂=m²，
又∵x₁+x₂=6-x₁x₂，
∴3-2m=6-m²，
∴m²-2m-3=0，
∴m₁=3，m₂=-1，
又∵m≤(3)/(4)
∴m=-1，
∴x₁+x₂=5，
x₁x₂=1，
∴（x₁-x₂）²+3x₁x₂-5
=（x₁+x₂）²-4x₁x₂+3x₁x₂-5
=（x₁+x₂）²-x₁x₂-5
=5²-1-5
=19．