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已知关于x的一元二次方程2x2+(a+4)x+a=0.(1)求证:无论a为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根�已知关于x的一元二次方程2x2+(a+4)x+a=0.(1)求证:无论a为任何实数,此方程总
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已知关于x的一元二次方程2x2+(a+4)x+a=0.(1)求证:无论a为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根�
已知关于x的一元二次方程2x2+(a+4)x+a=0.
(1)求证:无论a为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)抛物线C1:y=2x2+(a+4)x+a与x轴的一个交点的横坐标为
,其中a≠0,将抛物线C1向右平移
个单位,再向上平移
个单位,得到抛物线C2.求抛物线C2的解析式;
(3)点A(m,n)和B(n,m)都在(2)中抛物线C2上,且A、B两点不重合,求代数式2m3-2mn+2n3的值.
已知关于x的一元二次方程2x2+(a+4)x+a=0.
(1)求证:无论a为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根;
(2)抛物线C1:y=2x2+(a+4)x+a与x轴的一个交点的横坐标为
a |
2 |
1 |
4 |
1 |
8 |
(3)点A(m,n)和B(n,m)都在(2)中抛物线C2上,且A、B两点不重合,求代数式2m3-2mn+2n3的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:∵△=(a+4)2-4×2a=a2+16,
而a2≥0,
∴a2+16>0,即△>0.
∴无论a为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵当x=
时,y=0,
∴2×(
)2+(a+4)×
+a=0,
∴a2+3a=0,即a(a+3)=0,
∵a≠0,
∴a=-3.
∴抛物线C1的解析式为y=2x2+x-3=2(x+
)2-
,
∴抛物线C1的顶点为(-
,-
),
∴抛物线C2的顶点为(0,-3).
∴抛物线C2的解析式为y=2x2-3.
(3)∵点A(m,n)和B(n,m)都在抛物线C2上,
∴n=2m2-3,m=2n2-3,
∴n-m=2(m2-n2),
∴n-m=2(m-n)(m+n),
∴(m-n)[2(m+n)+1]=0,
∵A、B两点不重合,即m≠n,
∴2(m+n)+1=0,
∴m+n=-
,
∵2m2=n+3,2n2=m+3,
∴2m3-2mn+2n3=2m2?m-2mn+2n2?n=(n+3)?m-2mn+(m+3)?n=3(m+n)=?
.
而a2≥0,
∴a2+16>0,即△>0.
∴无论a为任何实数,此方程总有两个不相等的实数根.
(2)∵当x=
a |
2 |
∴2×(
a |
2 |
a |
2 |
∴a2+3a=0,即a(a+3)=0,
∵a≠0,
∴a=-3.
∴抛物线C1的解析式为y=2x2+x-3=2(x+
1 |
4 |
25 |
8 |
∴抛物线C1的顶点为(-
1 |
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25 |
8 |
∴抛物线C2的顶点为(0,-3).
∴抛物线C2的解析式为y=2x2-3.
(3)∵点A(m,n)和B(n,m)都在抛物线C2上,
∴n=2m2-3,m=2n2-3,
∴n-m=2(m2-n2),
∴n-m=2(m-n)(m+n),
∴(m-n)[2(m+n)+1]=0,
∵A、B两点不重合,即m≠n,
∴2(m+n)+1=0,
∴m+n=-
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∵2m2=n+3,2n2=m+3,
∴2m3-2mn+2n3=2m2?m-2mn+2n2?n=(n+3)?m-2mn+(m+3)?n=3(m+n)=?
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