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f(x)是一个整系数多项式,若f(0),f(1)都是奇数,求证f(x)不可能有整数根
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f(x)是一个整系数多项式,若f(0),f(1)都是奇数,求证f(x)不可能有整数根
▼优质解答
答案和解析
用反证法,假设n是f(x)的一个整数根,则x-n是f(x)的因式,可设f(x) = (x-n)g(x).
由f(x)是整系数多项式,可知g(x)也是整系数多项式.
代入x = 0,1得f(0) = -ng(0),f(1) = -(n-1)g(1).
g(0),g(1)都是整数,而n和n-1中有一个是偶数,因此f(0),f(1)中至少有一个是偶数,矛盾.
即f(x)没有整数根.
由f(x)是整系数多项式,可知g(x)也是整系数多项式.
代入x = 0,1得f(0) = -ng(0),f(1) = -(n-1)g(1).
g(0),g(1)都是整数,而n和n-1中有一个是偶数,因此f(0),f(1)中至少有一个是偶数,矛盾.
即f(x)没有整数根.
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