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△ABC是等边三角形,D是射线BC上的一个动点(与点B、C不重合),△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作EF∥BC,交射线AC于点F,连结BE.(1)如图1,当点D在线段BC上运动时.①求证:△AEB≌

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△ABC是等边三角形,D是射线BC上的一个动点(与点B、C不重合),△ADE是以AD为边的等边三角形,过点E作EF∥BC,交射线AC于点F,连结BE.

(1)如图1,当点D在线段BC上运动时.①求证:△AEB≌△ADC;②探究四边形BCFE是怎样的四边形?并说明理由;
(2)如图2,当点D在线段BC的延长线上运动时,请直接写出(1)的两个结论是否依然成立;
(3)在(2)的情况下,当点D运动到什么位置时,四边形BCFE是菱形?并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)①证明:∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠EAD=∠BAC=60°,
∴∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD,即∠EAB=∠CAD,
在△AEB和△ADC中,
AE=AD
∠BAE=∠CAD
AB=AD

∴△AEB≌△ADC(SAS);
②四边形BCFE是平行四边形,
理由:由①得△AEB≌△ADC,
∴∠ACD=∠BAC=∠ABE=60°,
又∵∠ABC=60°,
∴∠EBC+∠ACD=180°,
∴BE∥CF,
又∵EF∥BC,
∴四边形BCFE是平行四边形;

(2)①△AEB≌△ADC;②四边形BCFE是平行四边形均成立;
①证明:∵△ABC和△ADE都是等边三角形,
∴AB=AC,AE=AD,∠EAD=∠BAC=60°,
∴∠EAD-∠EAF=∠BAC-∠EAF,即∠EAB=∠CAD,
在△AEB和△ACD中,
AE=AD
∠BAE=∠CAD
AB=AD

∴△AEB≌△ACD(SAS);
②四边形BCFE是平行四边形,
理由:由①得△AEB≌△ACD,
∴∠ADC=∠AEB,
又∵∠ADE=∠ADC+∠BDE=60°,
∴∠AEB+∠BDE=60°,
∵BC∥EF,
∴∠BDE=∠DEF,
∴∠AEB+∠DEF=60°,
∴∠BEF+∠F=180°,
∴BE∥CF,
又∵EF∥BC,
∴四边形BCFE是平行四边形;

(3)当点D运动到CD=BC时,四边形BCFE是菱形,
理由:∵△AEB≌△ADC,
∴CD=BE,
又∵CD=BC,
∴BE=BC,
∵四边形BCFE是平行四边形,
∴四边形BCFE是菱形.