关于等边三角形和球这是两个不相关的问题,我只是想方便一点.首先我想知道等边三角形的中点是平分高还是让高变成2：1.然后我还想知道球的表面积公式和体积公式的推导过程.越简洁易懂

Question

关于等边三角形和球
这是两个不相关的问题,我只是想方便一点.
首先我想知道等边三角形的中点是平分高还是让高变成2：1.
然后我还想知道球的表面积公式和体积公式的推导过程.越简洁易懂越好.

Answer 1

三角形没有中点这个概念,我想你指的是三条中线的交点
即,三角形的重心
等边三角形的重心是让高变成2：1
球的表面积公式和体积公式的推导涉及到微积分,不知道你学过没有
设球的半径为R,球截面圆到球心的距离为x
则球截面圆的半径为√(R²-x²)
以x作球截面圆的面积函数再对其积分就是半球的体积
有dV=2×2π×(R²-x²)
对其在[0,R]积分可得
球的体积V=(4/3)×(πR³)
对球截面圆的周长函数积分可得球表面积
照上面,球截面圆的周长函数为2π√(R²-x²)
对x进行[0,R]积分得到半球表面积
即dS=4π√(R²-x²)
对dS积分,设x=Rsint,t∈[0,π/2]
则dS=4πR(cost)√(R²-(Rsint)²dt
=4πR²(cost)²dt
=2πR²+(2πR²)(sin2t)dt ,t∈[0,π/2]
又,2πR²(sin2t)dt在t∈[0,π/2]上的积分＝2πR²
所以,
球的表面积S=2πR²+2πR²=4πR²